Když v roce 1975 vyhlásila maďarská vláda desetiletí obnovy tramvajové dopravy v hlavním městě, Budapešti, stěžejní domácí dodavatel
vozů, firma Ganz byla schopna dodávat maximálně deset kusů vozů Ganz CSMG ročně. A tak, ač byly dodávky českých kolejových vozidel do
Maďarska zcela výjimečné, obrátilo se vedení Dopravního podniku na českého výrobce ČKD Tatra s poptávkou na dodávku velké série vozů.
ČKD Tatra v té době navíc dodávalo vozy i výrazně levněji, než nabízel domácí Ganz. Pro účely seznámení se s vozy řady T, byly do Budapešti
koncem roku 1975 zapůjčeny dva vozy z Brna. T3 ev.č.1583 a K2 ev.č.1013. Jako vhodnější pro nákup byl vybrán sólo vůz T3, zejména pro libovolné
kombinace spřahování. ČKD Tatra namísto typu T3 nabídla v té době vyvinutý vůz typové řady T5, u nějž budapešťský Dopravní podnik požadoval
některé úpravy, zejména dveře v obou bočnicích a možnost spřahování záděmi k sobě, protože kolejová síť Budapešti není většinou ukončena
smyčkami a některé zastávky mají ostrovní nástupiště.
Tak se zrodil vůz T5C5, oboustranný vůz s jedním stanovištěm řidiče. Výška podlahy je 900 mm nad temenem kolejnic, určen je pro 28 sedících a 72 stojících
cestujících. V každé bočnici vozu jsou umístěny troje čtyřkřídlé dveře. Vozy jsou schopny jízdy až ve čtveřici, což se plánovalo na
nejzatíženějších linkách 4 a 6. Použité poloatutomatické spřáhlo ESW však umí přenášet trakční energii jen do jednoho sousedního vozu a
pokud tedy soupravu tvoří tři a více vozů, musí odebírat proud z troleje dva z vozů.
Dva prototypy vozů označené ev.č.4000 a 4001 dorazily do Budapešti 5. ledna 1979 poté, co v roce 1978 s nimi proběhly zkušební jízdy po
pražské kolejové síti, kdy nesly prototypová ev.č.8011 a 8012.
Zkoušky prototypů byly úspěšné, přestože zásadním omezením pro provoz vozů v Budapešti se stala jejich "standardní" šířka 2500 mm, oproti
2300 mm u ostatních vozů. V roce 1980 bylo předáno dalších 170 sériových vozů nesoucích ev.č.4002-4171. Z počátku byly na lince 59 dokonce
provozovány v soupravách s oběma kabinami ve směru jízdy. Budapešťský Dopravní podnik plánoval nákup dalších 200 vozů T5C5, ale protože
výrobce skokově navýšil cenu o 70%, nakoupeno bylo již jen 150 vozů dodaných v roce 1984 a označených ev.č.4200-4349 pro drobné odlišnosti
například ve velikosti kabiny oproti první sérii. První, pro Budapešť typická, trojice vozů T5C5 vyjela do ulic s cestujícími 1. září 1984 na linku 12.
V roce 2002 byly zahájeny modernizace vozů, označovaných následně jako typ T5C5K, respektive T5C5K2. Při nich je nahrazena výzbroj vozů,
upraven ovládací pult na stanovišti řidiče, vnitřní osvětlení, dosazeno poptávkové otevírání dveří, nové dveřní pohony, nový informační systém.
Modernizované vozy nejsou spřahovatelné s vozy nemodernizovanými. Přestavby nejsou realizovány v žádné ucelené číselné řadě, zůstávají jim
i jejich původní evidenční čísla. Při přípravě modernizace se předpokládala výroba nových nízkopodlažních vozů do souprav, po nákupu ojetých
vozů TW6000 byla tato myšlenka opuštěna.